Eines der am besten gehüteten Geheimnisse der Mathematik ist die Tatsache,
daß 5 = 7 gilt. In frühen Zeiten wurden Geheimnisse dieser Art nur von Druide zu
Druide weitergegeben (vergl. Asterix, der Gallier). Heutzutage wird diese
Tatsache nur von Mathematiker zu Mathematiker weitergegeben (denn wüßten
Ingenieure um dieses Geheimnis, könnte man keiner Berechnung mehr trauen). Ich
habe mich dennoch entschlossen (auch auf das Risiko hin, mir den Zorn der
Fachkollegen zuzuziehen), dieses Geheimnis an normale Sterbliche weiterzugeben.
Wir beginnen mit der wahren Aussage, daß es reelle Zahlen a und b gibt, so
daß 2a = 3b gilt (z.B. a = 12, b = 8).
Damit haben wir
| Gesicherte Aussage | Umformung für den nächsten Schritt | |
| 3b = 2a | | . 6 | |
| => | 18b = 12a | | - 63b |
| => | -45b = 12a - 63b | | + 30a |
| => | 30a - 45b = 42a - 63b | | Links 5 ausklammern, rechts 7 ausklammern |
| => | 5.(6a - 9b) = 7.(6a - 9b) | | : (6a - 9b) |
| => | 5 = 7 | q.e.d. |
Der 2. Beweis benutzt die noch aus Schulzeiten bekannte 2. binomische Formel.
Wir wiederholen noch einmal:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Danach beginnen wir unseren Beweis wiederum mit der wahren Aussage, daß es
reelle Zahlen x und y gibt, so daß 2x = 3y gilt (z.B. x = 12, y = 8).
Damit haben wir
| Gesicherte Aussage | Umformung für den nächsten Schritt | |
| 2x = 3y | | . 3y | |
| => | 2x . 3y = 9y2 | | Ersetze im linken Teil 3y durch (9y - 6y) |
| => | 2x . (9y - 6y) = 9y2 | | Ersetze im linken Teil 9y durch 6x (folgt aus 2x = 3y) |
| => | 2x . (6x - 6y) = 9y2 | | Ausmultiplizieren |
| => | 12x2 - 12xy = 9y2 | | + 4x2 |
| => | 16x2 - 12xy = 4x2 + 9y2 | | - 20xy |
| => | 16x2 - 32xy = 4x2 -20xy + 9y2 | | + 16y2 |
| => | 16x2 - 32xy + 16y2 = 4x2 -20xy + 25y2 | | Links und rechts jeweils die 2. binomische Formel anwenden! |
| => | (4x - 4y)2 = (2x - 5y)2 | | Wurzel ziehen |
| => | (4x - 4y) = (2x - 5y) | | Im rechten Teil 2x ersetzen durch 3y |
| => | 4x - 4y = 3y - 5y | | Rechts ausrechnen |
| => | 4x - 4y = -2y | | : 2 |
| => | 2x - 2y = -y | | + 6y |
| => | 2x + 4y = 5y | | Links einsetzen: 2x ist gleich 3y |
| => | 3y + 4y = 5y | | Ausrechnen |
| => | 7y = 5y | | : y |
| => | 7 = 5 | q.e.d. |
Der 3. Beweis benutzt die Existenz der komplexen Zahlen.
Im folgenden Beweis benutzen wir Wurzeln und Wurzelgesetze. Da wir hier das
Wurzelzeichen nicht in einfacher Form zur Verfügung haben, vereinbaren wir:
Wir schreiben im folgenden W(x) für die Quadratwurzel aus x.
Es folgt der Beweis.
| Gesicherte Aussage | Umformung für den nächsten Schritt | |
| -1 = -1 | | Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen | |
| => | W(-1) = W(-1) | | Im linken Teil einsetzen: -1 = (-1) . (-1) . (-1) |
| => | W( (-1) . (-1) . (-1) ) = W(-1) | | Wurzelgesetze: W ( a . b . c ) = W ( a ) . W ( b ) . W ( c ) |
| => | W(-1) . W(-1) . W(-1) = W(-1) | | Definition von i = W( -1 ) einsetzen |
| => | i . i . i = i | | Im linken Teil i . i = -1 einsetzen |
| => | -i = i | | + 6i |
| => | 5i = 7i | | : i |
| => | 5 = 7 | q.e.d. |