Digitale Bildverarbeitung

8 Fourier-Transformation Eigenschaften, FFT, Anwendung

Mathematischen Eigenschaften
Linearität
 Addition: Das Frequenzspektrum der Addition zweier Bilder kann durch Addition der Frequenzspektren der beiden Bilder berechnet werden.
 Skalare Multiplikation: Das Frequenzspektrum eines mit dem Faktor c multiplizierten Bildes kann durch Multiplikation des Frequenzspektrums des Bildes mit c berechnet werden.
 Faltuing: Eine Faltung im Ortsbereich entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich.
Auswirkungen in der Praxis:
Anstatt ein Bild direkt mit einem linearen lokalen Operator zu bearbeiten (falten), kann man sowohl das Bild als auch den Operator mit der DFT transformieren. Die beiden Frequenzspektren können dann (elementweise) multipliziert werden und das Ergebnis mit
Vorteil bei Größeren Operationsmasken sinnvoll.

FFT
FFT: Abkürzung für Fast Fourier Transformrums
Die Länge M von f(m) ist eine Zweierpotenz, d.h. M = 2^d
Divide & Conquer-Verfahren:
Zerlege die Folge von Werten f(m), 0,...,M-1 in zwei gleich lange Teilfolgen der Länge M/2
Diese werden wieder aufgeteilt usw., bis man schließlich zur diskreten Fourier-Transformation von 2 Werten gelangt.
Für diese ist dann keine komplexe Multiplikation erforderlich. Anschließend kann schrittweise die nächsthöhere Stufe
berechnet werden, usw.

Die Regel lautet:
Der Wert mit dem Index i wird mit dem Wert vertauscht, dessen Index sich durch Umkehr der Binärdarstellung von i ergibt (Radix2-Algorithmus).
Beispiel:
 1 = 001
 Bitumkehr liefert: 100 = 4
 d.h. f(1) und f(4) werden vertauscht

Lineare Tiefpassfilter
Rotationssymmetrischer idealer Tiefpass


In der Praxis sind andere Filter von Bedeutung, z.B. der Gaußtiefpass:

Lineare Hochpassfilter
Rotationssymmetrischer idealer Hochpass

Lineare Hochpassfilter
Rotationssymmetrischer idealer Hochpass
Anmerkung
 Der Gleichanteil F(0,0) ist der mittlere Grauwert.
 Oft wird daher HIHP(0,0) = 1 gesetzt, damit der mittlere Grauwert unverändert bleibt.