7 Fourier-Transformation Definition und Interpretation
Was ist die Fouriertransformation?
Die mathematischen Grundlagen der Fouriertransformation gehen auf den
Ägyptologen und Naturwissenschaftler Baron Jean Baptiste (1768 - 1830) zurück.
Etwa um 1822 hat er sich mit der Entwicklung der Transformation beschäftigt. Die
Fouriertransformation ist sehr komplex, umständlich, und aufwendig zu berechnen.
Sie enthält eine große Anzahl von Multiplikationen und Additionen. Aufgrund der
Aufwendigkeit der Berechnung wurde und wird immer wieder versucht dieses
Verfahren bezüglich Schnelligkeit, Einfachheit und Speicherplatzverwendung zu
optimieren. 1965 haben erstmals Cooley und Tukey den sogenannten Fast Fourier
Transformations Algorithmus veröffentlich. Die Optimierung bestand hauptsächlich
darin, wie der Name schon sagt, eine Geschwindigkeitssteigerung bei der
Berechnung zu schaffen. Im Wesentlichen hat man dies dadurch erreicht, daß die
Anzahl der Bildpunkte eine Zweierpotenz sein muß, und somit die Anzahl der
Multiplikationen drastisch reduziert werden konnte. Die Fast Fourier
Transformation liefert also dieselben Ergebnisse wie die diskrete
Fouriertransformation (DFT), ist aber wesentlich schneller in der Berechnung.
Zur Fouriertransformation, und somit auch Fast Fourier Transformation gibt es
eine Rücktransformation (Inverse). Es ist also möglich in einem
fouriertransformierten Bild Veränderungen vorzunehmen, und es zurück zu
transformieren.
Es kommen so viele begriffe im internet vor
ohne einmal je erklärt zu haben was sie sind oder was sie bedeuten
an dieser stelle wollte ich dies bezüglich ein paar erläutern.
Fourier-Synthese
Das Aufsummieren geeigneter (ko)sinusförmiger Funktionen (Signale) ergibt eine
periodische nicht- (ko)sinusförmige Funktion (Signal).
Wichtige Eigenschaften:
- Periodendauer
- Frequenz
- Amplitude
- Phase(nverschiebung)
Fourier-Analyse
Zerlegung eines Signals in seine (ko)sinusförmigen Bestandteile
Darstellung der Kosinus-Komponenten im Frequenzbereich:
Betrag a
Phase (/)
Polare Darstellung
Die kartesische Darstellung der Ergebnisse der DFT ist für die Verarbeitung mit
dem Rechner gut geeignet.
Zur Interpretation durch den Menschen ist die polare Darstellung als Betrag a
und Phase Q oft besser geeignet.
Bilder Fehlen-... + Formeln...
Struktur des Frequenzspektrums
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
DC f0
2f0 3f0 4f0 -3f0 -2f0 -f0
Der Koeffizient mit dem Index 0 wird technisch oft auch als Gleichanteil
bezeichnet (DC). (Mittlere Helligkeit)
Die Grundschwingung f0 ist die niedrigste Frequenz, die die DFT ermitteln
kann.
Die Nyquist-Frequenz (hier: 4 f0) ist höchste durch die DFT errechnete
Frequenz.
Die übrigen Koeffizienten sind ganzzahlige Vielfache von f0, die sog.
Oberschwingungen.
Darstellung des Phasenspektrums
Das Phasenspektrum kann zentriert als Rasterbild dargestellt werden, wobei der
Wertebereich von –180° bis 180° auf Grauwerte abgebildet wird.
Das Phasenspektrum ist im Gegensatz zum Amplitudenspektrum nur schwer zu
interpretieren.
Für die Eigenschaften eines digitalen Bildes ist das Phasenspektrum jedoch
deutlich wichtiger als das Amplitudenspektrum.
dft-struktur und sinn
frequenzspecktrum
Furier-transformation
eigenschaften von dft was ist tief und hochpass filtering?