Digitale Bildverarbeitung

4 Lokale Operatoren

Was versteht man unter Lokalenoperatoren bei einem Bild?
Der Operator verknüpft die Grauwerte in diesem Fenster auf eine geeignete Weise (z.B. durch Berechnung des Mittelwertes) und erzeugt dabei einen Ergebniswert. Dieser wird anschließend in das aktuelle Pixel des Ergebnisbildes eingetragen.
Die Lage des aktuellen Pixels im Ursprungsbild und im Ergebnisbild sind identisch.

Vorgehensweise
Um das gesamte Bild abzuarbeiten, wird das Operatorfenster Pixel für Pixel über das Bild geschoben. Dieser Vorgang beginnt gewöhnlich links oben im Bild. Am Ende einer Zeile wird der Vorgang am Beginn der nächsten Zeile fortgesetzt.

Problem
Liegt das aktuelle Pixel am Rand des Bildes, so ragt das Operatorfenster über den Rand des Bildes hinaus.
Lösungen
1. Es werden nur die Pixel, die innerhalb des Bildes liegen, in die Berechnung des Ergebnisses einbezogen.
Als aktuelle Pixel werden nur solche Pixel betrachtet, bei denen das Operatorfenster vollständig im Bild liegt. Die nicht erreichten Randpixel erhalten einen definierten Wert (Initialisierung). Diese „Schrumpfung“ des Bildes ist meist kaum von Bedeutung.
2. Man macht einen Rand um das Bild mit Schwarzer, Weißer oder Mittelhellwert-Farbe gefüllt ist.
Die Breite hängt von der Größe des Operatorfensters ab.

Faltung
Mit Faltung versteht man, wenn auf das Originalbild eine Maske aufgesetzt wird
und Die Werte durch eine Funktion Zusammengerechnet werden und einem Wert zugewiesen werden.
Faltung von f und w.
Operatoren, die sich durch Faltung berechnen lassen, heißen lineare Operatoren.

Filterarten:
Box-Filter
Gaußscher Tiefpass
Rangordnungsoperatoren (Rangordnungsoperatoren sind keine linearen Operatoren.)
 - Min-Operator
 - Max-Operator
 - Median-Operator
k-Nearest Neighbor Filter (Der k-Nearest Neighbor Filter ist kein linearer Operator)
Laplace-Operator
Prewitt-Operatoren
 - Horizontale
 - Vertikal
Differenz der Min- und Max-Operationen
Closest-of-Min-and-Max-Operation

Box-Filter
1 1 1
1 1 1
1 1 1

 

Die Grauwerte im Operatorfenster werden gemittelt, d.h. aufsummiert und durch die Anzahl der Pixel des Operatorfensters dividiert.
Eigenschaften:
- Rauschen wird reduziert
- Steile Grauwertübergänge zwischen Bildregionen werden abgeflacht, d.h. Kanten werden unscharf.
Der Box-Filter ist ein linearer Operator.
Gaußscher Tiefpass
1 2 1  
2 4 2 *1/16
1 2 1  

 

Es wird ein gewichtetes Mittel der Grauwerte im Operatorfenster berechnet.
Die Grauwerte der Pixel unter der Maske werden mit dem jeweiligen Gewicht multipliziert und addiert.
Anschließend wird durch die Summe der Gewichte dividiert.
Die Gewichte ergeben sich durch Approximation einer Gaußschen Glockenkurve.
Der Gaußsche Tiefpass ist ein linearer Operator.

Rangordnungsoperatoren
Wichtige Vertreter der Rangordnungsoperatoren sind der Min-, Max und Median-Operator.
Die Grauwerte der durch die Maske überdeckten Pixel werden sortiert und in einer Liste geordnet.
Die Listeneinträge werden gewichtet und anschließend aufsummiert.
Die Summe bildet den neuen Grauwert.
Rangordnungsoperatoren sind keine linearenOperatoren.

Rangordnungsoperator Min-Operator
Ergebniswert ist der kleinste von der Maske überdeckte Grauwert
Eigenschaften:
- Dunkle Regionen werden gesäubert.
- Helle Regionen werden zerstört.

Rangordnungsoperator Max-Operator
Ergebniswert ist der größte von der Maske überdeckte Grauwert
Eigenschaften:
- Helle Regionen werden gesäubert.
- Dunkle Regionen werden zerstört.

Rangordnungsoperator Median-Operator
Aus der sortierten Liste der Grauwerte wird der Grauwert als Ergebnis ausgewählt, der sich in der Mitte der sortierten Liste befindet.
Dies ist der sog. Median.

k-Nearest Neighbor Filter
Ungewichteter Mittelwertoperator
Es werden nicht alle Pixel unter der Maske einbezogen, sondern nur diejenigen k Pixel, deren Grauwerte dem des aktuellen Pixel am nächsten sind.
Der k-Nearest Neighbor Filter ist kein linearer Operator.

Laplace-Operator
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0

 

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, der Grauwertdifferenzen, z.B. Grauwertsprünge zwischen dunklen und hellen Bildregionen, hervor hebt.
Er realisiert eine Approximation der zweiten Ableitung.
Problem:
Der Laplace-Operator hebt auch Grauwertdifferenzen hervor, die auf kleine Störungen zurückzuführen sind.

 

Prewitt-Operatoren
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1

 

Vertikal
Die Prewitt-Operatoren sind lineare Operatoren, die horizontale bzw. vertikale Grauwertdifferenzen hervorheben.
Sie realisieren eine Approximation der ersten Ableitung in horizontaler und vertikaler Richtung.
Prewitt-Operatoren
1 1 1
0 0 0
-1 -1 -1

 

Horizontal
Die Prewitt-Operatoren sind gegenüber Bildstörungen weniger empfindlich.

Differenz der Min- und Max-Operationen
Die Min- und Max-Operatoren zur Grauwertglättung können auch zur Hervorhebung von Grauwertdifferenzen benutzt werden.
Auf ein Bild wird Max- und Min-Operator angesetzt und die ergebnisse werden subtrahiert groß(p)-klein(p)=ergebnis.
Ergebnis:
Die absolute Differenz zwischen den Min- und Max- Werten für jedes Pixel ergibt die hervorgehobenen Grauwertübergänge zwischen dunklen und hellen Regionen.

Closest-of-Min-and-Max-Operation
Idee:
Ein Übergang zwischen einer dunklen und einer hellen Region basiert auf Grauwerten, die zwischen den hellen und dunklen Grauwerten liegen.
Das Ergebnis dieser Operation ist entweder der minimale oder maximale Grauwert in der aktuellen Maske.
Die Entscheidung beruht auf der Differenz zwischen dem Grauwert des aktuellen Pixels und dem minimalen und maximalen Grauwert in der Maske. Ist die Differenz zum Minimum kleiner als zum Maximum, ergibt der Operator den minimalen Grauwert und umgekehrt.
Anmerkungen:
Ist der Grauwertübergang von hell nach dunkel sehr breit, so liefert die einmalige Anwendung einer Closest-of-Min-and-Max-Operation der Größe 3x3 kein befriedigendes Ergebnis. Hier kann die iterative Anwendung der Operation bzw. die Vergrößerung der Operatormaske weiterhelfen.

Der einfache Differenzoperator ist die direkte Umsetzung des Rückwärtsgradienten in eine Filtermaske und hat folgende Gestaltung.

Template-Matching-Operatoren