Angewandte Mathematik
Trapez Regel
Bestimmte Integrale, deren Stammfunktion sich nicht mittels elementarer
Funktionen darstellen lassen, sollen näherungsweise bestimmt werden. Dieselbe
Prozedur kann auch auf
Funktionen, die nur Punktweise bekannt sind, angewandt werden. Grundgedanke
dieser numerischen Verfahren ist es, die zu integrierende Funktion durch
einfachere Funktionen – meist Polygonzüge, Polynome oder Splines – zu
approximieren. Exemplarisch sei hier das einfachste Verfahren vorgestellt.
Man ersetzt die Funktionskurve durch die Verbindungsgerade zwischen den
Punkten (a | f(a)) und (b | f(b)). Die Fläche des entstehenden Trapezes ist die
Näherung für das gesuchte Integral.
N-Fache Trapez Regel
Für bessere Näherungen unterteilen wir das
Grundintervall [a; b] in n gleich
lange Teilintervalle [xk-1; xk] k = 1; 2; : : : n.
(äquidistante Unterteilung)
In jedem Teilintervall wird die Funktion durch ihre Sehne approximiert. Die
Fläche unterhalb der Trapeze ergibt
näherungsweise das gesuchte Integral.
Ist h = xk - xk-1 die Breite der Teilintervalle, so ergibt sich für die Summe
der Trapezflächen
Dabei erhalten die beiden Randpunkte das halbe Gewicht der inneren Punkte. Benutzt man an Stelle des Polygonzugs für je 3 Stützstellen ein Interpolationspolynom zweiter Ordnung, so ergibt sich die wesentlich genauere Simpson-Formel. Sehr effektive Verfahren ergeben sich auch durch Extrapolation der Trapez-Regel (Romberg-Verfahren).
ein kleines Programm zur Simulation. |
#include <stdio.h> |