Angewandte Mathematik

Numerische Integration

Hintergrund kann sein:
Exakte Berechnung nicht moglich oder sehr aufwendig, oder:
Integrand f (z.B. Messwerte) ist nur in gewissen Punkten bekannt.
Gesucht ist eine Naherung von Rb
a f(x)dx: Dazu wird [a; b] in endlich viele
Teilintervalle zerlegt und - im einfachsten Fall - auf jedem Teilintervall die Flache
unter f durch die Flache eines Rechtecks ersetzt.

Rechteckregel

Nach Addition (also die `zusammengesetzte' Rechteckregel) ergibt sich (fur kleines
maxi hi) eine Naherung fur das gesuchte Integral (dies besagt schon die De-
nition des Integrals).
Approximation von f durch eine auf (xi)lineare Funktion ergibt:

Trapezregel

(Fur aquidistante Stutzstellenwahl, alle hi =: h, unterscheiden sich allerdings die zusammengesetzten
Formeln bei allen 4 Varianten kaum und der Fehler ist fur glattes f jeweils proportional zu h2:
(Beweis dieser Fehlerabschatzung mit Taylor ...) )

Im Folgenden betrachten wir nur eines der Teilintervalle und nennen dieses
aus Bequemlichkeit [a; b]:
Wir wollen f jetzt nicht durch ein Polynom 0:ten Grades (Rechteckregel)
oder 1:ten Grades (Trapezregel) approximieren, sondern durch ein Polynom
2:ten Grades. Sei m der Mittelpunkt von [a; b], m := a+b
2 : Wir suchen zunachst
das quadratische Interpolationspolynom q zu f in den Punkten a;m und b, d.h.
es soll gelten:

[2 Bemerkungen am Rande:
*Warum nehmen wir statt dessen nicht einfach das Taylorpolynom 2:ter Ordnung zu f, etwa
an der Entwicklungsstelle m? Antwort: Das ware auch sinnvoll, wir suchen aber ein Verfahren
ohne Ableitungen.
*Warum sollen q und f gerade in a; m; b ubereinstimmen? Antwort: Das sieht so schon symmetrisch
aus (es gibt also keinen Grund). In Wirklichkeit gibt es eine noch geschicktere Wahl
der Interpolationspunkte (die sogenannten Gauss-Punkte), siehe unten.]

Dies als Näherung für Rb
a f(x) dx genommen, ist die Simpson-Regel (auch als
Kepler'sche Fa -Regel bekannt).

Die allgemeine Struktur ist also stets von der Art