Angewandte Mathematik

Nullstellen bestimmen

Kurze Ergänzung:
Wurzelberechnung im Rechner findet auch statt über die Nullstellenberechnung
man kann auch per Hand Wurzelziehen im Rechner realisieren aber das ist zu Rechenintensiv.

Über den Newtonverfahren in bestimmtem n positive Wurzel zu bekommen, ist am schnellsten zu realisieren

Xk+1 = Xk - [(Xnk - a) / (n × Xn-1k)] = [(n-1) × Xnk + a] / (n × Xn-1k)

Wendet man die obige Formel für n = 2 an, kann man die Näherungswerte für die Quadratwurzel einer reellen Zahl a ³ 0 wie folgt rekursiv ermitteln:

Beispiel:

Die n-te (positive) Wurzel aus einer reellen Zahl a > 0 lässt sich etwa per Newton-Verfahren numerisch berechnen:

Die Folge der Xk ist für einen Startwert X1 mit (X1)n > a streng monoton fallend und konvergiert gegen die gesuchte n-te Wurzel aus a.
 = p(x) = xn-a =0
(p stetig differenzierbar)
Nullstellen bestimmen

Damit bestimmt man z.B. Wurzel(5) in nur zwei Schritten mit einer Genauigkeit von 3 Nachkommastellen:

p(x)=x²-5
um die Nullstelle zu finden werden auf den nächsten Seiten die gängigen Algorithmen vorgestellt.
a=5
n=x1:= 2
Þ x2 = ½ × (5/2 + 2) = 9/4
Þ x3 = ½ × (5/(9/4) + 9/4) = 161/72 = 2,236...

Das Symbol      steht übrigens für die positive (also reelle) n-te Wurzel aus a > 0. Diese Wurzel ist eindeutig bestimmt, womit die Schreibweise keinen Sinn ergibt. Dagegen erhält man alle n-ten Wurzeln aus a durch die Lösungen der Gleichung xn = a.