Angewandte Mathematik

Bêzier-Punkte und Kurve

• Satz (Geometrische Eigenschaften der Bazier-Kurven)
  • Randinterpolationseigenschaft
    • die Anfangspunte der BKurve und des Bêzier-Polynoms überschneiden sich
    • oder: p stimmt mit den Punkten 0 und 1 mit dem Bêzier-Polygon überein
  • Randsteigungseigenschaft
    • die Steigung an der BKurve und des Bêzier-Polynoms überschneiden sich
    • oder:p hat in den Punkten 0 und 1 dieselbe Steigung wie das Bêzier-Polygon
  • Konvexe-Hüllen*-Eigenschaft
    • die BKurve verlässt nie die Konvexe Hülle der Bêzier-Punkte
    • oder: der Graph von p über [0,1] verläuft in der Konvexen Hülle der Bêzier-Punkte

Beispiel zur Berechnung der Kurve:
Gegeben seien die Bêzier-Punkte

Wie sieht zu den Punkten gehörende Bêzier-Kurve aus?
an den Stellen K(0.5):

Lösung: mit de Casteljau-Schema:
     

K(0.5)=(1.75;0,75)

Anderes verfahren am Bild was möglich ist.
ist der die Linien zwischen den Punkten prozentual zu trennen.
damit kommt man auch auf das gleiche Ergebnis.

*Konvexe-Hülle bezeichnet man ein ein Geschlossene Form die mit je beliebigen zwei Punkten
 aus einer Menge eine Verbindungsstrecke aufbauen kann ohne die Hülle zu verlassen.